Đôi nét về hình học phi Ơ-clít

1.1 Hình học Ơ-clít

Hình học mà chúng ta quen thuộc nhất được gọi là hình học Ơ-clít. Hình học Ơ-clít mang tên Ơ-clít, nhà toán học Hi Lạp sống vào khoảng 300 năm trước công nguyên. Cuốn “Nguyên lý” của ông là một tập hợp những tiên đề, định lý, và chứng minh về hình vuông, hình tròn, góc nhọn, tam giác cân, và những điều tương tự như vậy. Hầu hết những định lí mà chúng ta dạy trong trường phổ thông ngày nay đều có thể được tìm thấy trong quyển sách 2000 năm tuổi của Ơ-clít.

Hình học Ơ-clít có một giá trị thực tiễn đối với người Hi Lạp cổ khi họ dùng nó (và chúng ta vẫn còn dùng nó cho đến ngày nay) để thiết kế các công trình xây dựng và đo đất.

1.2 Hình học cầu

Hình học phi Ơ-clít là một loại hình học bất kì khác với hình học Ơ-clít. Một trong số những hình học phi Ơ-clít hữu ích nhất là hình học cầu, được thể hiện trên mặt của một hình cầu. Hình học cầu được phi công và thuyền trưởng sử dụng khi họ đi vòng quanh thế giới. Làm việc với hệ toạ độ cầu cho một vài kết quả phi trực giác. Thí dụ, bạn có biết rằng đường bay ngắn nhất từ Phlo-ri-đa đến Phi-líp-pin là đường bay ngang qua A-lát-xca? Phi-líp-pin nằm ở phía nam Phlo-ri-đa – tại sao bay về phía bắc Phlo-ri-đa lại là đường tắt? Câu trả lời là Phlo-ri-đa, A-lát-xca và Phi-líp-pin thẳng hàng trong hình học cầu. ( Chúng nằm trên một đường tròn lớn). Một tính chất kì lạ nữa của hình học cầu là tổng các góc trong một tam giác luôn luôn lớn hơn 180 độ. Những tam giác nhỏ chẳng hạn được vẽ trên quả bóng, rất bằng với 180 độ. Những tam giác to hơn, dù sao đi nữa, (như là tam giác thật Niu Oóc, Lốt An-giơ-lét và Tam-pa ) có một sự khác biệt lớn so với 180 độ.

2.1. Không gian cong

Thuyết tương đối rộng của Anh-xtanh có thể được hiểu như phát biểu sau: Vật chất và năng lượng bóp méo không gian. Sự bóp méo không gian đó làm ảnh hưởng đến sụ vận động của vật chất và năng lượng.

Nhiều nhà vũ trụ học cho rằng, chúng ta đang sống trong một vũ trụ ba chiều mà bị uốn cong thành chiều thứ tư. Không ai có thể chỉ ra được chiều thứ tư, mặc dù nó tồn tại xung quanh chúng ta. Chiều thứ tư là chiều khác với tất cả những chiều thông thường.Nó không lên hay xuống ; trái hay phải, trong hay ngoài.

Một vài người nói thời gian là chiều thứ tư. Điều này trong một khả năng nào đó là đúng. Dù sao đi nữa, thời gian không phải là chiều mà chúng ta đang đề cập đến. Nếu chúng ta muốn tính cả thời gian như là một chiều, thì chúng ta sẽ nói là chúng ta sống trong một không – thời gian bốn chiều mà bị uốn cong thành năm chiều ! Vậy đâu là chiều khác biệt?

2.2. Vùng Đất Phẳng

Thật khó khăn để hình dung ra bốn chiều trong không gian. Năm 1884, một hiệu trưởng ở Anh Cách Lan (England) tên là Ét-uyn A-bót xuất bản một quyển sách về thế giới tưởng tượng chỉ có hai chiều, gọi là Vùng Đất Phẳng. Vùng Đất Phẳng được những người phắng ngự trị. Chúng ta có thể nghĩ họ giống như đồng tiền trên mặt bàn. Hay cách khác, chúng ta có thể tưởng tượng họ như những mảng màu sắc trên lớp bong bóng xà phòng. Câu chuyện tập trung vào cuộc thám hiểm của Hình Vuông, một công dân nổi tiếng ở Vùng Đất Phẳng, và con đường mà anh ta khám phá ra chiều thứ ba. Bằng cách nghĩ đến những khó khăn của hình vuông trong việc hiểu được chiều thứ ba, chúng ta có thể đối phó tốt hơn với khó khăn của chúng ta về chiều thứ tư. Đầu câu chuyện Hình Vuông và vợ anh ta sống thoải mái trong căn nhà của họ. Bất thình lình, một giọng nói từ đâu vang lên. Và rồi, một tí xíu sau, một hình tròn xuất hiện ở ngay gần ngôi nhà khoá kín của họ. Nó tên là Hình Cầu, đến để dạy cho Hình Vuông về chiều thứ ba.

2.3. Vùng đất của chúng ta

Sự lồi ra chiều thứ tư mà vũ trụ chúng ta dường như nảy sinh trên ba mức độ khác nhau. Mức độ uốn nhỏ do từ mỗi hạt thứ nguyên tử [subatomic, thí dụ các hạt chất tử (proton), trung tử (neutron), điện tử (electron)]. Mức độ uốn trung bình gắn với lực hấp dẫn của các hằng tinh (star), lỗ đen và các giải ngân hà. Mức độ uốn lớn là toàn thể những hình dạng trong không gian, và là kết quả tích luỹ của tất cả vật chất và năng lượng trong không gian.

Ở mức độ uốn lớn, hầu hết không gian có một kiểu đặc trưng riêng được gọi là không gian song khúc (hyperbolic). Không gian song khúc có hình học riêng của nó gọi là hình học song khúc. Hình học Ơ-clít có thể được coi là tập hợp con của hình học song khúc vì một mảng nhỏ của hình học song khúc có sự uốn cong nhỏ, gần như tương ứng với không gian Ơ-clít. Tất cả những định lí của hình học Ơ-clít đều vì vậy áp dụng đúng cho một mảng nhỏ của hình học song khúc.

” Tôi không phải là một hình phẳng, nhưng là vật thể. Bạn gọi tôi là một hình tròn, nhưng thật sự tôi không phải là đường tròn. Mà là vô số những vòng tròn, có kích thước từ một điểm cho đến một vòng tròn có đường kính 13 inh, cái này lần lượt đặt chồng lên cái khác. Khi tôi cắt ngang qua mặt của bạn như tôi đang làm đây, tôi tạo ra trên mặt bạn một phần mà đối với bạn, rất chính xác là hình tròn. Đối với một Hình Cầu- tên chính xác của tôi ở chỗ tôi – nếu anh ta tự xưng vói tất cả nhưng người cư trú ở Vùng Đất Phẳng – cần phải được thể hiện như là một hình tròn.” (A-bót, 1884).

Vùng đất phẳng không phải lúc nào cũng phẳng. Hai người phẳng ở trên đang ở trên một vũ trụ hai chiều mà đựoc uốn cong thành ba chiều. Vũ trụ này sẽ không xuất hiện sự uốn cong người ở trên nó vì tất cả các vật thể (bao gồm cả cơ thể họ) đều bị uốn cong cùng với bề mặt hai chiều.

2.4. Quỹ đạo sao Thuỷ

Khoảng cách từ trái đất đến mặt trời quá nhỏ đối với những dụng cụ nhạy nhất của chúng ta đề đo lương sự khác nhau giữa hình học Ơ-clít và hình học song khúc nguyên nhân là do mức độ uốn lớn của không gian. Dù sao đi nữa, mặt trời của chúng ta tạo ra một vài mức độ trung bình mà chúng ta có thể đo lường được. Sao Thuỷ gần mặt trời nhất. Nó ở trong vùng hấp dẫn mạnh hơn trái đất, và vì vậy, không gian bị uốn cong một cách dáng kể trong vùng lân cận của nó. Sao Thuỷ gần chúng ta đủ để với kính viễn vọng chúng ta có thể thực hiện những sự đo lường chính xác của sự vận động của nó. Quỹ đạo của sao Thủy quanh mặt trời nhỏ hơn là sự dự đoán chính xác khi hình học song khúc được sử dụng ở vị trí của hình học Ơ-clít.

3. Nguỵ cầu

Ở mức độ lớn, hầu hết vũ trụ của chúng ta là ba chiều, không gian song khúc uốn thành chiều thứ tư. Để có thể hiểu được không gian song khúc ba chiều là gì, chúng ta xem xét đến không gian song khúc hai chiều. Trong hai chiều, hình học cầu (Hình học của không gian cầu) được trình bày tốt nhất trên mặt của một hình cầu. Trong hai chiều, hình học song khúc được trình bày tốt nhât ở trên bề mặt của một hình nguỵ cầu (pseudosphere). Nhưng hình nguỵ cầu là gì?

Một hình nguỵ cầu, giống như một hình cầu, có thể xem như là một bề mặt hai chiều. Một hình cầu nhỏ hơn một mặt phẳng: tự nó uốn cong và có giới hạn, nhưng ngược lại, mặt phẳng thì vô hạn. Một hình cầu ảo, dù sao đi nữa thì lớn hơn là mặt phẳng. Cả mặt phẳng lẫn hình nguỵ cầu đều không có giới hạn, tuy nhiên hình nguỵ cầu chiếm được nhiều phạm vi hơn. Bạn có thể nói rẳng hình nguỵ cầu không giới hạn mạnh hơn mặt phẳng.

Chính xác vì hình nguỵ cầu thực sự lớn hơn là mặt phẳng, thật là khó khăn để biểu thị nó trên hình học Ơ-clít thông thường với cách vẽ của chúng ta. Nhưng có một thủ thuật đặc biệt cho việc rút một hình nguỵ cầu vừa vặn vào một đường bao tròn . Thủ thuật này được gọi là mô hình Pôn-ca-rê của hình học song khúc.

4. Đường song song

Định nghĩa: Các đường thẳng song song là các đường thẳng vô hạn trong cùng một mặt phẳng không cắt nhau.

Trong hình trên, song khúc tuyến (hyperbol) BA và đường thẳng song khúc tuyến BC cùng là đường không giới hạn trên một mặt phẳng. Chúng cắt nhau tại điểm B, vì vậy chúng KHÔNG phải là đường thẳng song khúc tuyến song song. Đường thẳng song khúc tuyến DE và đường thẳng song khúc tuyến BA cùng nằm trên cùng một mặt phẳng, và vì chúng không cắt nhau, DE song song với BA. Cũng như thế, đường thẳng song khúc tuyến DE cũng song song với đường thẳng song khúc tuyến BC. Bây giờ, đây là một điều kì lạ, vì chúng ta biết rằng trong hình học Ở-clí nếu hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba, thì hai đường thẳng đó song song với nhau. Đây là định lí trong hình học Ơ-clít, nhưng trong hình học song khúc nó lại là sai (Trong tí dụ trên cả BA lẫn BC đều song song với DE, nhưng BA không song song với BC). Tuy nhiên, có thể bạn không tin rằng BA và DE song song. Để có thể thuyết phụ bạn, tôi muốn tập trung trước hết vào cơ sở là mỗi đường thẳng được biểu diễn ở trên là Không giới hạn. Các đường thẳng dường như giới hạn. Chúng ta thông thường nghĩ về đường thẳng không giới hạn như là đường thẳng kéo dài mãi mãi, nhưng thực sự, đường thẳng không giới hạn là đường thẳng mà không có điểm kết thúc. “Kéo dài mãi mãi ” và ” không có điểm kết thúc ” không giống nhau. Nhớ rằng đây là mô hình của hình học song khúc, các đối tượng trở nên nhỏ hơn để chúng có thể khép kín trong đường tròn biên, và điều đó có nghĩa là khoảng cách từ bất kì đường thẳng nào đó trong phạm vi đường tròn bao đến đường biên của đường tròn bao là Không giới hạn. Ngay cả khi một đoạn hyperbol dài 100 triệu dặm Anh đi nữa, thì nó vẫn không vượt ra khỏi đường tròn bao, và mỗi đầu của đoạn thẳng có thể được kéo dài.

Một đường thẳng trong hình học song khúc không giống với đường thẳng trong hình học Ơ-clít ( thí dụ, đường cong song khúc tuyến. Tuy nhiên, chúng cũng chia sẻ một số những tính chất tương tự. Tiếp theo là một vài trong số những tính chất đó:

1. Trong Hình học Ơ-clít, có một và chỉ một đường ngắn nhất giữa hai điểm bất kì. Chúng ta gọi “đường ngắn nhất” là đường “thẳng”, và đường này nằm dọc theo đoạn thẳng nối hai điểm. Điều này cũng đúng trong hình học song khúc với điểm song khúcl và đường song khúc tuyến.
2. Trong hình học Ơ-clít hai điểm xác định một đường thẳng duy nhất. Hay nói cách khác, cho hai điểm bất kì, tồn tại một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Thêm nữa, không còn tồn tại bất kì đường thẳng nào khác có thể đi qua cả hai điểm đó. Điều này cũng đúng trong hình học song khúc.
3. Trong hình học Ơ-clít, ánh sáng đi theo đường thẳng Ơ-clít trong chân không. Cũng như vậy, trong hình học song khúc, ánh sáng cũng truyền theo đường thẳng song khúc tuyến trong chân không.

Trong sự khó chịu của những đường song khúc tuyến đồng dạng có nhiều sự khác nhau với hình học Ơ-clít. Thí dụ, các định lí sau là sai trong hình học song khúc.
1. Trong hình học Ơ-clít, nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
2. Trong hình học Ơ-clít, nếu hai đưòng thẳng song song, khoảng cách giữa chúng là khoảng cách không thay đổi.
3. Trong Hình học Ơ-clít, đường thẳn không có một điểm kết thúc (đường thẳng không giới hạn) cũng có nghĩa là không có đường bao (một điểm mà chúng bị chặn ở đầu, không bao giời kéo dài).

5. Tiên đề và định lý

5.1 Tiên đề Ơ-clít

Một giá trị thực tế nữa của hình học Ơ-clít, là, người Hy Lạp cổ cũng đã phát hiện giá trị mang tính thẩm mĩ cao trong công việc nghiên cứu hình học. Như những đứa trẻ thu thập được một vài kiểu hình khối để tạo ra nhiều cái tháp khác nhau, những nhà toán học thu thập được một vài định nghĩa và điều giả định để tạo ra nhiều định lý khác nhau. Những hình khối được thu thập bàng tay, còn những tiên đề được khám phá bằng lý trí.

Toàn bộ hình học Ơ-clít (với hàng ngàn định lý) được xây dựng trên một vài kiểu khối khác nhau. Chúng được gọi là “5 tiên đề Ơ- clít”
:
*1. Mỗi hai điểm bất kì xác định một đường thẳng.
*2. Một đường thẳng bị chặn bởi một điểm kết thúc cho trước có thể được kéo dài về chiều còn lại.
*3. Có thể dựng được một đường tròn với bất kì một điểm như là tâm của nó và với một bán kính có độ dài bất kì (Điều này có nghĩa là không có bất kì một giới hạn trên hay dưới của chiều dài. Hay nói cách khác, bất kì một khoảng cách nào, không có vấn đề gì khi tăng lên và với bât kì khoảng cách nào, không có vấn đề khi chia nhỏ ra).
*4. Nếu hai đường thẳng cắt nhau sao cho một cặp góc kề tương đẳng, thì mỗi góc trong cặp đó cũng tương đẳng với bất cứ góc nào còn lại kề với nó.
*5. (Tiên đề song song) Cho một đường thẳng , có một và chỉ một đường thẳng đi qua điểm đã cho và song song với đường thẳng.

Ngoài những tiên đề trên, hình học Ơ-clít còn được xây đựng trên một số những khái niệm chung hoặc là những quy tắc luận lý mà Ơ-clít đã liệt kê trong “Nguyên lý”:

*1. Những cái cùng bằng một cái chung thì mỗi cái đều bằng nhau. (Things which are equal to the same thing are also equal to one another.)
*2. Nếu những lượng bằng nhau được cộng thêm những những lượng bằng nhau thì tổng vẫn bằng nhau. (If equals be added to equals, the wholes are equal.)
*3. Nếu những lượng bằng nhau được trừ đi những lượng bằng nhau thì hiệu vẫn bằng nhau. (If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.)
*4. Những cái cùng trùng với một cái khác thì bằng với một cái khác. (Things which coincide with one another are equal to one another.)
*5. Toàn bộ thì lớn hơn một phần.

Mục đích của Ơ-clít là với những tiên đề và những khái niệm chung và đúng như vậy chúng không thể được chứng minh. 2000 năm trước nhiều nhà toán học đã tin rằng tiên đề thứ năm là không cần thiết. Họ tin rằng nó có thể được chứng minh như một định lí bằng bốn tiên đề đầu tiên. Đã có nhiều cố gắng làm công việc trên. Cho đến thế kỉ thứ 19 ba người làm việc độc lập, cuối cùng cũng đã kết thúc việc tìm kiếm không thể này. Ba người đó là I-va-nô-vích Lô-ba-chép-xki người Nga, Các Gau người Đức, và Gia-nốt Bô-li-ai người Hun-ga-ri. Mỗi người này đã phát triển các định lí trên cơ sở bón tiên đề Ơ-clít đầu tiên và phủ định của tiên đề song song. Kết quả cuối cùng của họ là phát triển hai định lý đối lập lẫn nhau. Điều này đã chứng minh rằng sự phủ định tiên đề song song của họ là mâu thuẫn với bốn tiên đề đầu tiên – bằng cách chứng minh tiên dề song song (và coi nó như là định lý song song). Sự ngạc nhiên của họ là, dù sao đi nữa, họ cũng không bao giờ đạt được một sự đối nghịch. Thay vào đó, họ đã phát triển một loại hình học hoàn thiện và thống nhất mà hiện nay được gọi là hình học phi Ơ-clít. Điều này chứng tỏ rằng tiên đề song song không thể nhận được từ bốn tiên đề còn lại. Điều này đã từng là một mối quan tâm toán học và triết học lớn. Vào thời Hy Lạp, người ta tin rằng những định lý hình học rất rõ ràng và hoàn thiện đến mức chúng không cần được nghiên cứu từ sự quan sát thế giới thực. Hiện nay, những phát biểu đó chỉ đúng trong một vài loại hình học. Lý do duy nhất để đưa ra một hình học khác với những cái khác là bằng cách so sánh với thế giới thực – một cú đánh mạnh đối với các nhà hình học. Vào đầu thế kỷ 20, An-be Anh-xtanh phát triển thuyết tương đối rộng điều đã làm bao quát ứng dụng của hình học song khúc. Lý thuyết trừu tượng này, thuộc về toán học và triết học hiện nay đã đứng vững trong vương quốc khoa học.

Trong hình học Ơ-c ít cho bất kì tam giác ABC nào, luôn có một đường thẳng duy nhất song song BC và đi qua điểm A. Thêm vào đó, có một định lý trong Hình học Euclid là khi hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến, thì những góc trong khác phía là tương đẳng nhau. Vì vậy, góc NAB tương đẳng góc ABC và góc MAC tương đẳng góc ACB. Trong hình học song khúc có một số lượng không xác định những đường thẳng song song với BC và đi qua điểm A, nên không tồn tại bất kì một đường thẳng nào sao cho thoả cả hai điều : góc NAB tương đẳng góc ABC và góc MAC tương đẳng góc ACB.

6.1. A=1/2bh

Trong hình học Ơ-clít, diện tích của một tam giác được tính bằng cách nhân chiều cao của một cạnh bất kì với chiều cao tưong ứng rồi chia cho 2 (A=1/2bh). Thí dụ dưới đây minh hoạ cách tính này trong hình học song khúc.

Đường cao của môt tam giác

Tam giác ABC là một tam giác thường, các đoạn thẳng AX, BY, và CZ là 3 đường cao của tam giác ABC. Chú ý là, như trong hình học Ơ-clít, 3 đường cao đồng quy. Khi đo tam giác thực tế này cho ta kết quả sau :

chiều dài AB = 3.3, CZ = 1.1
chiều dài BC = 3.0, AX = 1.9
chiều dài AC = 2.1, BY = 2.5
Góc AXB = AXC = 90°
Góc BYA = BYC = 90°
Góc CZA = CZB = 90°

Bây giờ nếu chúng ta tính diện tích bằng công thức A=1/2bh, chúng ta nhận ra rằng 1/2AB.CZ KHÔNG BẰNG cả 1/2BC.AX lẫn 1/2AC.BY. Trong hình học song khúc, phương trình A=1/2bh cho ba kết quả khác nhau phụ thuộc vào cạnh chúng ta sử dụng để tính. Vì thế. A=1/2bh không dùng để tính diện tích trong hình học song khúc.

6.2. A=s²

Trong hình học Ơ-c ít, chúng ta định nghĩa một diện tích một hình vuông mà có các cạnh dài 1 đơn vị là một đơn vị diện tích. Trong hình học song khúc, hình chữ nhật (hình tứ giác có 4 góc vuông) không tồn tại, và vì thế, hình vuông (một trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật với bốn cạnh bằng nhau) cũng không tồn tại. Trong hình học song khúc, nếu một tứ giác có 3 góc vuông, thì góc thứ 4 phải là một góc nhọn (xem hình bên dưới).

Hình tứ giác với ba góc vuông và một góc nhọn

Một hình tứ giác đều là một hình tứ giác có 4 cạnh bằng nhau, va 4 góc bằng nhau. Một hình vuông tự nó là trường hợp đặc biệt của hình tứ giác đều, có 4 góc là 4 góc vuông. Trong hình học Ơ-clít, tất cả hình tứ giác đều là hình vuông. Trong hình học song khúc, tồn tại các tứ giác đều, nhưng tất cả chúng đều chỉ có các góc nhọn. Trong hình học song khúc, tứ giác đều không thể được sử dụng để sắp xếp thành đơn vị diện tích cơ sở theo cùng một cách như hình học Ơ-clít. Một lí do của điều này là trong hình học
song khúc, tứ giác đều không thể sếp lại với nhau mà không có kẽ hở.

Hình học phi Euclide

Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởi Bolyai, Gauss, Riemann.

Hình học phi Euclid là cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối của Albert Einstein, thông qua việc đề cập đến độ cong hình học của không gian nhiều chiều.

Hình học Euclid

Hình học Euclid dựa trên cơ sở công nhận, không cần chứng minh hệ thống các tiên đề sau:

1. Hai điểm bất kỳ không trùng nhau xác định một đường thẳng và chỉ duy nhất một đường thẳng đó.

2. Ba điểm bất kỳ không thẳng hàng (hay không nằm trên một đường thẳng) xác định một và chỉ duy nhất một mặt phẳng.

3. Nếu có ít nhất hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc về một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc về mặt phẳng đó.

4. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng ít nhất còn có một điểm chung nữa.

5. Từ một điểm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. (Tiên đề song song)

Lưu ý, các tiên đề Euclid ngầm hiểu là áp dụng trong hình học phẳng.

Hình học Lobachevsky

Hình học Lobachevsky (còn gọi hình học hyperbolic) do nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky khởi xướng, dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về đường thẳng song song. Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm ngoài đường thẳng ta có thể vẽ được hơn một đường thẳng khác, nằm trên cùng mặt phẳng với đường thẳng gốc, mà không giao nhau với đường thẳng gốc (đường thẳng song song). Từ đó, ông lập luận tiếp rằng từ điểm đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng song song với đường thẳng gốc, từ đó xây dựng nên một hệ thống lập luận hình học logic.

Để xem xét hình học Lobachevsky ứng dụng vào lý thuyết không-thời gian cong, cần thiết phải xem lại khái niệm đường thẳng nối hai điểm. Trong lý thuyết tương đối rộng, trong cơ học lượng tử và trong vật lý thiên văn, người ta mặc nhiên thừa nhận đó là đường đi của tia sáng-sóng điện từ giữa hai điểm đó.

Trong hình học Euclid, tổng các góc trong của một tam giác bằng 180°, nhưng trong hình học phi Euclid, tổng các góc đó không bằng 180°, và phụ thuộc vào kích thước của tam giác đó.

Trong hình học Hyperbolic, tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn 180°

Trên hình học mặt cầu, tổng các góc trong của một tam giác cầu lớn hơn 180°